Appunti completi del corso "Costruzione di macchine 1"

Elementi di macchine

Sistemi e componenti principali

Alberi (trasmettono potenza) e assi (non trasmettono potenza)

• Alberi a camme
• Alberi a gomiti
• Alberi di trasmissione

Collegamenti (perché è impensabile creare tutto come un pezzo unico)

• Albero Mozzo

Cuscinetti

Giunti e innesti (frizione)

Freni

Molle

Ingranaggi

• Ruota dentata
• Ingranaggio (insieme di due o più ruote dentate)

Vettori

Rappresentano delle grandezze fisiche. Ogni vettore fornisce 3 informazioni:

• Ampiezza: valore della grandezza
• Direzione: disposizione della grandezza
• Verso: orientamento della grandezza

Vettori fissi: è importante il punto di origine.

Vettori scorrevoli: individuata una direzione, tutti i vettori su quella direzione sono equivalenti.

Vettori liberi: giacciono su rette parallele. Un vettore libero è libero di muoversi nello spazio senza cambiare lunghezza, direzione e verso. I vettori liberi sono equipollenti. Due vettori sono equipollenti se hanno stesso modulo, direzione e verso.

Gradi di libertà e coordinate

Abbiamo visto che i vettori hanno 3 gradi di libertà: ampiezza, direzione e verso.

Analogamente nello spazio i 3 gradi di libertà vengono dati dalle coordinate: x, y, z.

Espressione analitica

Modulo (lunghezza): Somma, prodotto di uno scalare per un vettore, prodotto scalare. Il risultato è uno scalare. Fisicamente quello che succede è che un vettore è proiettato sull'altro. È commutativo.

Prodotto vettoriale: Il risultato è un vettore. Direzione e verso si determinano con la regola della mano destra.

Corpo rigido e sistemi equipollenti

Momento di una forza rispetto ad un polo O. Il verso del momento è determinato dalla regola della mano destra, così come il verso della rotazione che esso causa.

Un corpo rigido è un corpo in cui prendendo due punti facenti parte del corpo, qualunque forza venga applicata essi rimangono sempre alla stessa distanza. Quindi è un corpo che non si deforma.

Due sistemi di forze sono equipollenti se:

• Hanno la stessa risultante delle forze
• Hanno la stessa risultante dei momenti rispetto ad un generico polo

Sono equipollenti. Nel secondo disegno è come se avessimo traslato la forza fuori dalla sua retta di applicazione, per questo serve il momento di trasporto al fine di garantire l'equipollenza tra i due sistemi. La coppia è il sistema equipollente di forze.

In questo esempio, siccome la forza è applicata sulla superficie della circonferenza, ci sarà un momento che farà ruotare la circonferenza. Questo momento è detto momento di trasporto, mentre il trasferimento della forza in rotazione genera la cosiddetta coppia.

Ogni volta che sposto una forza, mi porto dietro un momento di trasporto (tranne se la sposto lungo la sua retta di applicazione). Il momento di una forza rispetto ad un polo O non cambia se si fa scorrere la forza lungo la sua retta di applicazione. I momenti, invece, sono liberi di spostarli senza vincoli.

Sistema internazionale

Trasformazioni tra SI e Sistema Anglosassone.

Analisi cinematica

Significa capire se un corpo è ben vincolato, ovvero se è vincolato in maniera efficace.

Punto materiale

Rappresentazione di un oggetto materiale non considerando la sua estensione nello spazio. Possono essere rappresentati come punti quei corpi con dimensioni molto inferiori alle distanze rispetto ad altri corpi. Per descrivere un punto nello spazio serve:

• Un sistema di riferimento
• I suoi gradi di libertà

Gradi di libertà e di vincolo

Gradi di libertà corrispondono al numero di parametri indipendenti da fornire per fissare il punto nello spazio. Un punto nello spazio possiede 3 GdL, ovvero le 3 coordinate: cartesiane, cilindriche, sferiche.

Gradi di vincolo: Un punto si dice vincolato se perde uno o più dei suoi gradi di libertà. Per esempio, un punto perde 1 grado di libertà se è costretto a stare su una superficie. Oppure perde 2 gradi di libertà se è costretto a stare su una linea.

Corpo rigido e corpo deformabile

Oggetto costituito da infiniti punti che non cambiano la loro distanza relativa. Esempio: ruota di un treno. Presi 2 punti del corpo, la distanza tra essi è sempre la stessa.

Corpo deformabile: Oggetto costituito da infiniti punti che cambiano la loro distanza relativa. Esempio: pneumatico. Presi 2 punti del corpo, la distanza tra essi varia.

Sistema di punti rigidi

La "traiettoria" di un punto è il vettore posizione in funzione del tempo. Lo "spostamento" è la differenza tra la posizione al tempo corrente e la posizione al tempo iniziale. La distanza tra due punti qualsiasi nel tempo rimane sempre uguale. Allora si può affermare che questo sistema di punti è un corpo rigido. Esistono anche sistemi che sono composti da corpi rigidi, ma che nel loro insieme sono non rigidi. Un esempio è il sistema Biella-Manovella.

Corpi rigidi

Gradi di libertà - GdL: Un corpo rigido nello spazio ha 6 gradi di libertà:

• 3 di traslazione (uno lungo ogni asse cartesiano)
• 3 gradi di rotazione (uno per ogni asse cartesiano)

Gradi di vincolo - GdV: Un corpo rigido non libero di muoversi nello spazio si dice "vincolato". Ogni grado di libertà vincolato si dice "grado di vincolo".

Esempi di vincoli

Una trottola su un piano ha 5 GdV, perché è vincolata solo rispetto all'asse z. Una trottola fissata ad un piano ha tutti e 3 i gradi traslatori vincolati, quindi ha solo 3 GdL, ovvero i 3 gradi rotatori.

Corpo rigido nel piano

Generalmente ha 5 gradi di libertà. Esempio: Barca. Se interessa solo la posizione, servono solo le coordinate, più l'inclinazione orizzontale, quindi il corpo ha 3 gradi di libertà. Se però interessa anche l'assetto, servono anche le inclinazioni. Esempio: Aereo, quindi il corpo ha 5 gradi di libertà.

Movimenti di un corpo rigido

L'obiettivo è trovare una struttura macroscopicamente ferma. Quindi andiamo a verificare che la struttura non si muove.

Punto materiale

Descrivere il movimento di un punto materiale nello spazio significa assegnare la sua posizione rispetto a un sistema di riferimento fisso, ovvero assegnare i valori dei 3 parametri che definiscono la posizione durante il movimento. Un punto materiale è fermo se i suoi 3 parametri non variano nel tempo.

Corpo rigido

Per descrivere il movimento di un corpo rigido nello spazio si deve definire la posizione di ogni suo punto rispetto al sistema di riferimento; questo equivale ad assegnare i valori di 6 parametri che ne definiscono la posizione durante il movimento; ad esempio fornire le coordinate di 2 punti.

Verifica del corpo rigido

Per verificare che un corpo rigido è fermo si può:

• Prendere un punto, per esempio il baricentro, e verificare che nel tempo le sue coordinate non variano e che fissando tre assi non si hanno rotazioni attorno ad essi nel tempo.
• Prendere due punti qualsiasi e l'angolo di rotazione del corpo sull'asse formato dalla congiunte dei due punti, e vedere se nel tempo questi parametri variano.

Moti di un corpo rigido (nel piano)

(Richiedono la conoscenza di solo 3 parametri)

Traslazione

Il corpo si muove in modo tale che tutte le direzioni rettilinee individuabili sul corpo restano parallele a se stesse durante il moto. Quindi la traslazione mantiene le linee parallele a se stesse.

Rotazione

Il corpo si muove in modo tale che un punto, denominato "centro" della rotazione, ha spostamento nullo.

Rototraslazione

Il corpo si muove con movimento generico, ottenuto per sovrapposizione di traslazione e rotazione. Considerando il triangolo ABC, ci sono più modi per arrivare nella posizione A'B'C':

• Traslazione in A"B"C" e poi rotazione attorno a B"
• Traslazione in A'''B'''C''' e poi rotazione attorno a A'''
• Rotazione attorno a O

Lo spostamento rigido generico può essere ridotto a una semplice rotazione, e il centro attorno cui avviene tale rotazione è chiamato "centro di rotazione". Quindi qualsiasi spostamento rigido nel piano può essere ricondotto ad una rotazione.

Procedure di rotazione

Vediamo ora come fare a ricondurre un movimento ad una rotazione.

Consideriamo un corpo rigido e prendiamo due suoi punti A e B. Consideriamo ora la sua posizione finale. Tracciamo AA' e BB'. Prendiamo i loro punti medi Ma e Mb. Tracciamo la perpendicolare alla congiungente in questi punti. Il punto individuato dall'intersezione delle due perpendicolari è il centro di rotazione. Notiamo che AC e A'C sono congruenti, come anche BC e B'C, quindi i due triangoli ABC e A'B'C sono congruenti. Ora è evidente che si tratta di una rotazione attorno a C.

Rotazione istantanea

Prendiamo due punti A e B. Facciamogli fare una rotazione molto piccola (infinitesima = "istantanea"). Facciamo lo stesso ragionamento fatto prima, e il punto così trovato è detto "centro di istantanea rotazione" (CIR).

Calcolo dello spostamento

Quanto vale lo spostamento? Se dθ è molto piccolo:

Quindi per angoli infinitesimi lo spostamento non è un arco attorno al centro di rotazione, ma è uno spostamento perpendicolare alla congiungente di C con A.

Quindi il CIR provoca questa piccolissima rotazione che però viene approssimata ad una traslazione.

Caso limite

Se portassi il CIR all'infinito, avrei una vera e propria traslazione. Quindi anche le traslazioni pure, sono in realtà delle rotazioni con centro di rotazione all'infinito. In geometria questa condizione è assimilabile a due rette parallele che all'infinito si incontrano in un punto detto "punto improprio".

Teorema di Eulero

Qualunque atto di moto piano risulta sempre definito da una rotazione attorno ad un centro di istantanea rotazione (caso degenere: centro all'infinito = traslazione).

Il CIR è detto centro di istantanea rotazione perché esso può cambiare posizione istante per istante. Il CIR definisce un movimento infinitesimo e "virtuale" (ammesso dai vincoli, ma non è detto che sia possibile).

Obiettivo dell'analisi cinematica

A noi anche la situazione di movimento virtuale non va bene. Quindi l'obiettivo dell'analisi cinematica è trovare strutture che non possiedono un CIR (proprio o all'infinito), così in questo modo esse non si possono muovere, né per rotazione né per traslazione.

Rotazione di piccole dimensioni

Non stiamo parlando di grandi rotazioni, ma di piccole rotazioni. Per esempio, questa struttura, pur essendo ben vincolata, nel momento in cui gli viene applicato un carico al centro si flette un pochino, e questo non va bene.

Teorema di Charles

Se le perpendicolari delle traiettorie dei punti si intersecano in un solo punto, questo è il CIR. Quindi con l'analisi cinematica dovremo verificare per via grafica che non ci sia nessun CIR. Se non c'è, vuol dire che il corpo rigido è fermo, ovvero è vincolato in maniera "efficace".

Vincoli

Sono qualcosa che tengono "vincolato" l'oggetto preso in considerazione. Sono ciò che connette la struttura con il terreno o altre strutture. Noi non analizzeremo strutture reali, ma modelli. = linee d'asse. Travi = simboli. Vincoli hanno un duplice significato:

• Analisi cinematica: ogni simbolo ci dice quali sono gli spostamenti che vengono vincolati
• Due rotazioni infinitesime di centro O1 e O2 e ampiezza α e β, equivalgono a una rotazione di ampiezza pari a (α+β) attorno a un centro O allineato con O1 e O2. Quindi se ci sono due CIR, il CIR totale è una combinazione lineare dei due CIR, e si trova sulla retta che congiunge i due CIR.

Rappresenta tutti i possibili CIR

Tipi di vincolo

Incastro: Permette di togliere tutti i possibili gradi di libertà. Incastro con colleganti bullonato. È un vincolo triplo (3 GdV).

Trave saldata

Cerniera: Consente solo la rotazione attorno al suo perno. È un vincolo doppio (2 GdV). Il CIR è il perno. Un altro esempio è il cuscinetto con anello esterno bloccato.

Carrello

Permette sia la rotazione attorno al perno della propria cerniera che la traslazione lungo la retta di scorrimento. C'è un CIR nel perno. È un vincolo singolo (1 GdV) e un CIR all'infinito. Quindi il CIR di un carrello è un qualunque punto della retta che collega i due CIR.

Cuscinetto a sfere

Con anello esterno libero.

Pattino

Permette solo la traslazione lungo la retta di scorrimento. È un vincolo doppio (2 GdV). Guida rettilinea. Pattino (doppio pendolo) non esiste un'intersezione. Esiste solo un'intersezione impropria, cioè il CIR all'infinito, quindi questo oggetto può solo traslare.

Bi-pattino

Permette due traslazioni e impedisce la rotazione. È un vincolo singolo (1 GdV). Siccome tutti i CIR sono all'infinito, il CIR può essere considerato come un cerchio intorno al bi-pattino, quindi può muoversi in tutte le direzioni, ma solo con traslazioni. È anche chiamato "pattino a manicotto".

È un insieme di travi collegate con cerniere (cinematicamente).

Vincoli tra corpi rigidi

Vediamo adesso vincoli non attaccati al terreno. Saldiamo due travi: prima avevo 6 gradi di libertà, ora ne ha 3, perché l'incastro assorbe 3 GdL.

Cerniera interna: Se ho tre travi, all'inizio ho 3•3 = 9 GdL. GdL = 3n. Se ora le attacco tutte e tre ad una cerniera quanti GdL ho? 5, perché ogni trave può ruotare, più le 2 traslazioni. GdV = 3n-(n+2) = 2n-2 = 2(n-1). GdL residui = n+2.

Carrello

GdL = 3n. GdV = 2n-1. GdL residui = n+1.

Cerniera

GdL = 3n. GdV = 2n. GdL residui = n.

Analisi cinematica

Dopo aver definito i vincoli semplici, l'analisi cinematica a questo punto prevede i seguenti passi:

• Bilancio GdL-GdV
• Valutazione di eventuali labilità

Un corpo rigido, o un sistema di corpi rigidi vincolati tra loro e al mondo esterno può essere:

• Ipostatico: GdV < GdL (a noi non va bene)
• Isostatico: GdV = GdL (a noi va bene)
• Iperstatico: GdV > GdL (a noi va bene, ma è più complicata da analizzare)

Sistema ipostatico

Ha un CIR 3 GdL. Carrello-Carrello: 2 GdV.

Sistema isostatico

3 GdL. Non ha un CIR 3 GdV. Cerniera-Carrello: Non ci sono intersezioni, quindi non c'è un CIR.

Sistema iperstatico

Non ha un CIR 3 GdL (iperstatico 1 volta). Incastro-Carrello: 4 GdV. 3 GdL (iperstatico 2 volte). Incastro-Cerniera: 5 GdV. 3 GdL (iperstatico 3 volte). Incastro-Incastro: 6 GdV.

Importanza dei gradi di vincolo

Che senso ha mettere così tanti GdV? Perché se disgraziatamente si perde un GdV, si rischia di avere una struttura ipostatica. Infatti, nei ponti moderni si usano tanti stralli, piccoli ma tanti, così se anche uno si rompe, ci sono gli altri. L'iperstaticità si porta dietro una maggior rigidezza. Avere più elementi che lavorano al posto di uno singolo più grande è uno standard in molti ambiti. Per esempio, nel "fly by wire": si hanno 4 pc, ma solo 3 lavorano, se 2 danno lo stesso risultato, quello sarà il comando.

Labilità

Può capitare che pur avendo lo stesso numero di GdL e di GdV, quindi una condizione di isostaticità, il corpo ha comunque la possibilità di eseguire spostamenti infinitesimi virtuali.

Un esempio è la trave con vincolo cerniera-carrello. Altre strutture, cerniera a terra con due aste 15 GdL isostatico, 15 GdV 6 GdL ipostatico, rotazioni attorno ai due perni. 4 GdV 6 GdL ipostatico. Biella-Manovella: 5 GdV 12 GdL isostatico, 12 GdV 21 GdL.

Strutture e triangolazione

Ogni triangolo composto da travi può essere considerato come un corpo rigido, per questo spesso le strutture sono costituite da un insieme di triangoli. L'anello chiuso può essere considerato come un'asta rigida e presenta 3 vincoli interni aggiuntivi, quindi è 3 volte iperstatico. Questa condizione può essere rimossa aggiungendo un taglio nella struttura.

Condizioni di movimento e rigidità

Ci sono anche casi in cui anche se i GdV e i GdL sono uguali, non si hanno solo movimenti infinitesimi, ma anche movimenti rigidi. Quindi noi non vogliamo né labilità micro, né macro.

Arco a tre cerniere

Ha 2 cerniere a terra. È una struttura isostatica. Verifichiamo che nessuna delle parti che lo compone ammette un CIR. Non c'è intersezione fra i due CIR, quindi non c'è un CIR comune, quindi questa struttura è isostatica e non è labile.

Strutture e labilità

In questo caso invece, pur essendo isostatico, è labile. Quindi un arco a tre cerniere allineate è una struttura labile. Se anche una sola parte della struttura ammette un CIR totale, non si può chiamare struttura.

Vincoli assoluti e relativi

Vincoli assoluti: sono legati al terreno. Relativi: sono all'interno della nostra struttura.

Strutture isostatiche

Una volta dimostrato che la struttura è isostatica e non labile, permette di trasferire le forze al suo interno, e il vantaggio di una struttura isostatica è che i conti sono molto più semplici rispetto alle strutture iperstatiche.

Esempio di analisi cinematica

Non spacca la trave 9 GdL 3 GdL 9 GdV 3 GdL 3 GdL.

La trave per muoversi potrebbe ruotare o rispetto a questo punto, o...