Appunti metodi matematici per l'ingegneria

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Appunti completi del corso di metodi matematici per l'ingegneria per l'ingegneria del Prof. Ferone presso UNINA. Con anche inserti per risolvere gli esercizi ed esercizi commentati passo per …

Esame Metodi matematici per l'ingegneria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Ferone Vincenzo

Università Università degli studi della Campania "Luigi Vanvitelli"

A.A. 2019-2020

99 pagine

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Appunti del corso di metodi matematici

Accademia aeronautica - Università di Napoli "Federico II"

Corso di laurea triennale in Ingegneria Elettronica
Programma del corso di Metodi Matematici per l'Ingegneria (9 CFU)
a.a. 2019/2020
Prof. Vincenzo Ferone

Numeri complessi

Forma algebrica, trigonometrica, esponenziale. Proprietà del modulo e dell’argomento. Formule di De Moivre e delle radici n-esime. Funzioni elementari nel campo dei numeri complessi: esponenziale, seno e coseno, seno e coseno iperbolici, logaritmo, potenza. Successioni e serie nel campo dei numeri complessi. Serie di potenze: raggio di convergenza e proprietà, derivazione termine a termine.

Funzioni analitiche

Olomorfa e condizioni di Cauchy-Riemann. Armonicità. Integrali di linea di funzioni di variabile complessa. Teorema e formula di Cauchy. Sviluppo in serie di Taylor. Sviluppo in serie di Laurent. Zeri delle funzioni analitiche e principi di identità. Classificazione delle singolarità isolate. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell’algebra.

Integrazione

Cenni sulla misura e sull’integrale di Lebesgue. Funzioni sommabili. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale (s.d.). Integrali nel senso del valore principale secondo Cauchy. Spazi di funzioni sommabili.

Residui

Teorema dei residui. Calcolo di residui nei poli. Calcolo di integrali col metodo dei residui. Lemmi di Jordan. Scomposizione in fratti semplici.

Equazioni alle differenze

Z-trasformata: definizione e proprietà. Z-antitrasformata. Successioni definite per ricorrenza.

Segnali

Generalità sui segnali. Segnali periodici. Convoluzione.

Trasformazione di Laplace

Definizione e dominio della trasformata bilatera di Laplace. Analiticità e comportamento all'infinito. Esempi notevoli di trasformata di Laplace. Proprietà formali della trasformata di Laplace. Trasformata unilatera di Laplace e proprietà. Teoremi del valore iniziale e finale. Antitrasformata (s.d.). Uso della trasformata di Laplace nei modelli differenziali lineari.

Serie di Fourier

Cenni su spazi di Banach e di Hilbert. Energia di un segnale periodico. Polinomi trigonometrici. Serie di Fourier esponenziale e trigonometrica. Convergenza nel senso puntuale e nel senso dell’energia (s.d.).

Trasformazione di Fourier

Definizione e trasformata di Fourier. Proprietà formali della trasformata di Fourier. Antitrasformata.

Distribuzioni

Funzionali lineari. Limiti nel senso delle distribuzioni. Derivata nel senso delle distribuzioni. Regole di derivazione. Esempi notevoli: δ di Dirac, v.p. 1/t. Convoluzione di distribuzioni. Trasformata di Fourier di distribuzioni temperate. Trasformata di Fourier della δ di Dirac, della costante, del treno di impulsi, del gradino. Trasformata di Fourier di segnali periodici. Trasformata di Laplace di distribuzioni.

Equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali

Problemi ai limiti per equazioni differenziali omogenee. Problemi di Sturm-Liouville. Autovalori, autofunzioni e loro proprietà (s.d.). La trasformata di Fourier e l’equazione del calore. L’equazione delle onde: corda vibrante e membrana elastica. Il metodo della separazione delle variabili nel caso del quadrato e del cerchio. Equazione di Bessel. Alcune proprietà delle funzioni di Bessel di prima specie: zeri, derivazione, ortogonalità.

Fanno parte integrante del programma esercizi relativi a tutti gli argomenti indicati s.d. = senza dimostrazione

Testi consigliati

G.C. Barozzi, Matematica per l'Ingegneria dell'Informazione, Zanichelli.
M. Codegone, Metodi Matematici per l'Ingegneria, Zanichelli.
M. Codegone - M. Calanchi, Metodi Matematici per l'Ingegneria, Pitagora.

Metodi matematici - Trattamento teorico

Primo capitolo

Data una funzione complessa f: A ⊂ C → C essa può ammettere derivabile nel punto del dominio. \[ f(x+h) - f(x) = \frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{h} \] con ℂ ∈ C. La funzione f si dice olomorfa in A se è derivabile in ogni punto di A. Se f può porsi in una comoda forma \[ f(u) = u(x+yi) + v(x, y) \] allora le due condizioni possono essere separate in due come: \[ \{ u_x + iv_x : (x_1, y_1) = f(x_1, y_1) - f(x, y) \} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} \] \[ u_y + iv_y = v(y_1 + y_2, y_2) - v(y_1, x + ix + 1) = \frac{1}{x^2+y^2} \frac{\partial v}{\partial y} \]

Proposizione

f è olomorfa in A se \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \] \[ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \]

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