Logica e filosofia della scienza

Logica e filosofia della scienza

Cenni storici

La logica formale risale come disciplina in sé ad Aristotele, le cui opere relative a tale materia sono note complessivamente col termine di Organon, ovvero, strumento. Stoici e megarici contribuirono notevolmente. Nel Medioevo si ebbero sviluppi importanti, pur senza mettere in discussione la cornice aristotelica. Kant affermava che la logica non avrebbe potuto compiere alcun ulteriore progresso, avendo raggiunto la sua formulazione definitiva, sebbene solo un secolo dopo, ad opera di Boole, nacque l'algebra della logica, destinata a rivoluzionare la materia. Nei primi del '900 anche l'italiano Giuseppe Peano diede il suo contributo con il “Formulario Mathematico”, preceduto da Frege, che pubblicava alla fine del XIX secolo “Ideografia”, opera che sancisce la definizione attuale di logica formale. Nel 1922 fu pubblicato invece, ad opera di Wittgenstein, il “Tractatus logico-philosophicus”, fondamentale nella descrizione del rapporto tra logica e filosofia della scienza.

Logica e linguaggio

La logica ha a che fare col linguaggio, le relazioni logiche sono di fatto relazioni tra oggetti linguistici. Un linguaggio ha un alfabeto, le cui lettere sono i segni del linguaggio, che opportunamente combinati danno vita alle parole. Gli enunciati sono parole, o insiemi di parole che hanno un contenuto, e posseggono pertanto la proprietà di essere veri o falsi. Lo studio della relazione tra le forme di enunciato è lo scopo principale della logica.

Logica formale

La logica formale è lo studio di quelle relazioni tra proposizioni che prescindono totalmente dal contenuto materiale di tali proposizioni, ma che dipendono pertanto solo dalla forma logica. Possiamo affermare in via preliminare che una relazione logica è formale se sostituendo opportunamente parole non logiche con altre non logiche, la relazione rimane invariata. Un esempio ne è il sillogismo:

• Tutti gli uomini sono mortali.
• Socrate è un uomo.
•  Socrate è mortale.

Esso stabilisce una relazione di conseguenza logica tra le premesse e la conclusione, nel senso che “Socrate è mortale” consegue logicamente dalle altre due. Sostituendo Socrate con Platone, in tutte le occorrenze, la relazione logica resta inalterata, ciò perché è una relazione formale.

Insiemi contraddittori

Un insieme di enunciati è detto contraddittorio se è logicamente impossibile che essi siano tutti contemporaneamente veri. L'insieme { “PIOVE”, “NON PIOVE”} è contraddittorio, poiché di fatto o piove oppure no. L'insieme {“PIOVE”, “O PIOVE O TIRA VENTO”, “NON TIRA VENTO”} è contraddittorio, infatti i tre enunciati non possono essere tutti veri al contempo. Si può costruire un insieme contraddittorio anche a partire da un argomento valido, è sufficiente inserire le premesse e la negazione della conclusione nello stesso insieme:

• O piove o tira vento.
• Non piove.
•  Tira vento.

→ {“o piove o tira vento”, “non piove”, “non tira vento”}

Viceversa da un insieme contraddittorio si possono ottenere tanti argomenti validi quanti sono i suoi elementi, considerando l'insieme dell'esempio precedente, è sufficiente estrarre un elemento e negarlo, esso sarà la conclusione:

• O piove o tira vento.
• Non tira vento.
•  piove.

Argomenti validi e verità logiche

La logica formale può dunque essere definita sia come lo studio degli insiemi contraddittori di enunciati, ma anche come lo studio degli argomenti validi, o logicamente corretti. Un argomento è costituito da un insieme di premesse e da una conclusione, sia le premesse che la conclusione sono enunciati, vale a dire espressioni linguistiche aventi la proprietà di essere vere o false. Un argomento è valido quando, ipotizzando che siano vere le premesse, lo è necessariamente anche la conclusione, in maniera equivalente, se la conclusione è falsa e le premesse sono vere, allora l'insieme di questi tre enunciati è contraddittorio.

Il criterio di validità

Il criterio di validità di un argomento è piuttosto semplice, infatti è sufficiente immaginare un mondo o uno stato di cose nelle quali tutte le premesse siano vere, se lo è anche la conclusione allora l'argomento è logicamente valido, al contrario se, pur essendo vere le premesse, la conclusione è falsa, allora l'argomento non è valido.

Verità logiche

La logica formale è vista in un ulteriore modo, ovvero come studio delle verità logiche. Un esempio di verità logica può essere l'enunciato “piove o non piove”, il quale fondamentalmente non asserisce nulla sul tempo, esso è infatti una vuota tautologia, una proposizione necessariamente vera. In passato la logica, poiché considerata come lo studio di queste proposizioni, è stata considerata una scienza del tutto futile, in quanto non ampliativa e priva di contenuto informativo.

Forma delle proposizioni

Anche le verità logiche sono vere solamente in virtù della loro forma. La forma delle proposizioni, sostituendo all'esempio precedente la lettera P in luogo della parola “piove”, genera la forma cosiddetta “P o non P”, nella quale, sostituendo le due p con una stessa parola, si genera un'altra verità logica. Ne consegue che le verità logiche sono vere in virtù del significato delle parole logiche che occorrono in esse. “P o non P” è quindi considerabile alla stregua di una matrice nella quale, sostituendo una stessa proposizione ad entrambe le P, si ottengono infinite verità logiche.

Leggi logiche

Le espressioni riconducibili alla prima definita “matrice”, quindi “P o non P” sono sovente indicate con la denominazione di leggi logiche. Questo modo di indicarle rivela una concezione del linguaggio e del mondo, secondo cui, il linguaggio è formato essenzialmente da nomi, le proposizioni rispecchiano le relazioni che sussistono tra le cose designate dai sostantivi. Anche le parole logiche sarebbero nomi che designano proprietà strutturali del mondo, quindi le leggi logiche nelle quali occorrono solo parole logiche mostrerebbero la struttura e l'intelaiatura più generale del mondo.

Concezioni storiche

Questa concezione è molto antica, Aristotele pensava che il principio del terzo escluso, una forma ristretta della legge logica ‘P o non P’, fosse un principio che riguarda il linguaggio solo di riflesso, in quanto in primo luogo riguarda le cose del mondo. Il filosofo che ha preso più seriamente questa concezione è L. Wittgenstein, secondo cui le proposizioni descrivono l'armatura del mondo, esse presuppongono che i nomi abbiano significato e le proposizioni elementari abbiano senso. Egli sosteneva inoltre che, il fatto che certi nessi di simboli, aventi per essenza un determinato carattere, fossero tautologie doveva necessariamente indicare qualcosa sul mondo.

Relazione tra leggi logiche e argomenti validi

Possiamo individuare una relazione tra leggi logiche e argomenti validi, infatti solo ed esclusivamente se la proposizione C è la conclusione di un argomento valido con P premesse, allora è una legge logica. Il problema è però che se la relazione tra premesse e conclusione di un argomento valido si riduce a una tautologia, l'inferenza allora non può portarci a dedurre nulla che non sia già contenuto nelle premesse. Possiamo quindi affermare che la conclusione di un argomento non è ampliativa, nel senso che il contenuto informativo della conclusione deriva da quello delle premesse e non aggiunge nulla di nuovo a quello delle premesse nel complesso.

Paradosso della deduzione

Ciò genera di fatto un paradosso, di fatto, ad esempio, la geometria euclidea si basa su 5 postulati, da cui i teoremi sono tratti in maniera deduttiva, per cui è come se i teoremi fossero, in un certo qual modo, contenuti nei postulati e non aggiungessero nulla alla nostra conoscenza della geometria, come se il teorema di Pitagora non dicesse nulla di nuovo.

Linguaggio naturale e logica formale

Il linguaggio naturale è molto complesso, spesso cade nell'ambiguità e i termini dipendono dal contesto, i concetti possono talvolta risultare piuttosto vaghi a causa di presupposizioni ed incertezza. È necessario quindi effettuare un processo di astrazione sia dal contesto che dalle presupposizioni, utile a mostrare la struttura logica del ragionamento e del linguaggio, utilizzando una logica simile a quella dei matematici nel loro ragionamento. Questa limitazione è utile a fornire le basi tecniche per affrontare il ben più complesso problema dello studio del ragionamento nel linguaggio naturale.

Applicazioni della logica formale

Entro certi limiti la logica formale consente di ricostruire le argomentazioni della vita quotidiana, non tutte le argomentazioni sono però valide nel senso della logica che studieremo. Nella maggior parte dei casi le argomentazioni quotidiane mirano a rendere plausibile la conclusione, piuttosto che a provarne la diretta prosecuzione delle premesse, in tal caso le argomentazioni si lasciano meglio formalizzare dalla teoria della probabilità. L'unico campo in cui la logica che studieremo trova perfetta applicazione è la matematica, la logica moderna è infatti anche chiamata logica matematica, essa lo è poiché sviluppata con metodi matematici, poiché usata in ambito matematico, ciò non esclude che possa trovare applicazione anche nel linguaggio ordinario o in altri contesti.

Argomenti validi e premesse mancanti

Gli argomenti della vita reale sono tipicamente ellittici, possono essere trasformati in argomenti validi aggiungendo delle premesse mancanti, che sono all'opera anche se assunte implicitamente. Se un argomento è valido non è detto che la sua conclusione sia vera, per avere questa certezza deve accadere che anche le premesse siano vere. La verità di una proposizione non è però una condizione formale, bensì una condizione materiale che non può essere stabilita mediante considerazioni logiche. La verità non è una proprietà formale. Quando un argomento soddisfa sia la condizione formale di validità che quella materiale di verità allora ci fornisce la garanzia che la conclusione è vera e che l'argomento è fondato. Chiaramente ogni argomento fondato è anche valido, ma non tutti gli argomenti validi sono fondati.

Esempi di argomenti validi

Esempio di argomento valido:

• Il sole splende nel cielo.
• Se il sole splende nel cielo allora il prato è asciutto.
• Il prato è asciutto.

La validità è indipendente dal valore di verità delle premesse, esse possono infatti essere tutte vere, e allora se l'argomento è valido, la conclusione è vera, ma possono anche esservi una o più premesse false, in tal caso allora non c'è più la garanzia che la conclusione sia vera, ma se le premesse sono false, non significa che la conclusione sia falsa. Se però l'argomento è valido e la conclusione falsa allora almeno una delle premesse è falsa.

Esempi di argomenti validi con premesse false

Esempio di argomento valido con qualche premessa falsa:

• Tutti gli animali che vivono nell’acqua sono pesci.
• Tutte le balene vivono nell’acqua.
• Quindi tutte le balene sono pesci.

• Tutti i pesci sono immortali.
• Tutti gli italiani sono pesci.
• Quindi tutti gli italiani sono immortali.

Verità accidentale

Può accadere che sia tutte le premesse sia la conclusione siano vere senza che l'argomento sia valido, in questo caso la verità di C non è formalmente implicata dalle premesse. Si tratta di una verità accidentale, cioè la C è vera benché la verità non dipenda da quella delle premesse. Esempio:

• Tutti i sassaresi sono sardi.
• Nessun tedesco è sassarese.
• Nessun tedesco è sardo.

Fallacie

Si chiamano fallacie gli argomenti non validi che però appaiono fondati, es:

• Tutti i sardi sono mortali.
• Tutti gli italiani sono mortali.
•  Tutti i sardi sono italiani.

Questo argomento è fallace poiché appare fondato, mentre non lo è, nonostante abbia le premesse vere, esso non è valido poiché sostituendo ovunque italiano con tedesco, la conclusione diviene falsa.

Termini logici e non logici

Negli enunciati dichiarativi compaiono due generi di termini:

• Termini logici, detti anche costanti logiche, sono parole che servono a combinare tra loro i termini non logici.
• Termini non logici, o descrittivi, sono nomi che denotano un referente a sé stante, individuo, proprietà, relazione, enunciato, oggetto.

Esempi:

1. Piove oppure non piove → oppure e non sono i termini logici mentre piove è quello non logico.
2. Maria è bionda oppure Maria non è bionda → termini logici sono è, oppure, non, quelli non logici sono Maria, bionda.

Forma logica e isomorfismo

Osservando l'enunciato 1 è semplice constatare come si possa ottenerne un altro, quale “nevica o non nevica”, sostituendo un termine non logico con un altro. La forma logica dipende per tanto solamente dai termini non logici e dal modo in cui occorrono in una proposizione, infatti a prescindere da essi le proposizioni coincidono, si dice che tali enunciati hanno la stessa forma logica o che sono isomorfi. Pertanto la forma logica è una proprietà che non varia al variare dei termini non logici, che possono semplicemente essere sostituiti da variabili, le quali svolgono la funzione di segnaposto, sono di fatto sostituibili con qualsiasi enunciato. Del precedente esempio numero uno, possiamo quindi risalire alla “matrice” ovvero “P o non P”.

Linguaggio oggetto e metalinguaggio

Il linguaggio oggetto parla di determinate cose cui si riferiscono i termini occorrenti nelle proposizioni, per esempio dicendo che Maria è bionda, ne descrivo un suo attributo, una sua proprietà. Un linguaggio che parla di oggetti linguistici, è invece definito “metalinguaggio”. Importante è non mescolare i due linguaggi, per non incorrere in paradossi logici. Un esempio ne è il paradosso del mentitore.

Paradosso di Grelling

Paradosso di Grelling: un aggettivo è detto autologico se può essere validamente applicato a se stesso, mentre eterologico solo se non può esserlo. Il paradosso consiste nel fatto che, se 'eterologico' fosse eterologico potrebbe essere validamente applicato a se stesso, essendo quindi autologico, viceversa se esso fosse autologico non potrebbe essere applicato a se stesso, essendo di fatto eterologico.

Costanti logiche e variabili

Le parole logiche sono dette anche costanti logiche perché hanno un significato fisso, 'non' designa infatti una operazione logica di negazione, partendo da un enunciato vero, lo muta in falso. Le parole non logiche possono essere costanti oppure variabili, sostituendole in un enunciato con una variabile si ottiene una 'forma di enunciato', un esempio è '3+2=5', esso è un enunciato aritmetico, ma ad esempio x+2=5 non lo è, in quanto è una equazione soddisfatta soltanto da alcuni valori di x, detti soluzioni, il ragionamento equivale a quello attuabile nella proposizione 'x ama Antonio', la situazione è logicamente identica, e le sol. Sono costituite dalle persone che amano A.

Metalinguaggio e regole sintattiche

Nel metalinguaggio sarebbe poco opportuno attribuire dei nomi a ogni segno o combinazione di segni a cui ci si può riferire, le combinazioni sarebbero troppe, per cui un oggetto linguistico si evidenzia mettendolo tra virgolette singole. Per cui in << 'bello' contiene due 'l'>> 'bello' è la parola costituita da 5 lettere in quanto successione di segni, e non ha nulla a che vedere con ciò a cui si riferisce. Pertanto le virgolette vanno usate se intendiamo menzionare una parola di cui dobbiamo discutere, estrapolandola da qualsiasi contesto nel quale ella può essere inserita.

Esempi di uso delle virgolette

Es:

• ‘Roma’ ha quattro lettere.
• Roma è la capitale d’Italia.
• Il nonno di Antonio si chiama ‘Antonio’ anch’egli.

Quindi per designare un oggetto linguistico lo si deve far precedere dal segno ‘'’ e seguire dal segno ‘'’’. Quando non vi è il rischio di incorrere in ambiguità, per esempio quando il metalinguaggio non contiene segno del linguaggio oggetto, ed è facile il riconoscimento, allora le virgolette possono essere omesse.

Regole sintattiche e semantiche

Quando nel metalinguaggio si tratta di un dato linguaggio oggetto è possibile riferirsi ai segni che ne governano l'uso ed anche alle regole che lo governano pur prescindendo dal significato delle combinazioni. Infatti quando leggiamo un libro di sintassi che spiega un dato contesto nel quale va usato il condizionale, ad esempio, non è necessario comprendere le frasi per poter applicare la regola. Analogamente, durante la costruzione di un linguaggio artificiale, dovremo distinguere le regole puramente combinatorie, ovvero sintattiche, che regolano l'uso di determinati segni, dall'uso che ne deriva secondo quelle regole e dal significato che i segni assumono. Le regole che governano il modo con cui si combinano i segni di un linguaggio L nelle frasi prescindendo dal loro significato costituisce la sintassi di L. Lo studio invece dei rapporti tra un dato linguaggio L e gli oggetti di cui esso parla costituisce la semantica di L, ovvero “parte della logica diretta a determinare i limiti di un linguaggio corretto e rigoroso mediante l'analisi dei ‘simboli’ linguistici d'uso comune”.

Logica e pensiero

Secondo la tradizione la logica aveva essenzialmente a che vedere con la mente, e le regole logiche erano leggi del pensiero. Cartesio pensava che gli argomenti fondati fossero un principio dedotto da un continuo ed ininterrotto moto del pensiero e della singola intuizione percipiente. Nella logica contemporanea invece la deduzione è definita.